Odpovědět:
# dy / dx = -20 / 21 #
Vysvětlení:
Budete muset znát základy implicitní diferenciace pro tento problém.
Víme, že sklon tečny v bodě je derivát; takže prvním krokem bude převzetí derivátu. Udělejme to po kouscích, počínaje:
# d / dx (3y ^ 2) #
Tenhle není příliš tvrdý; stačí použít pravidlo řetězu a pravidlo napájení:
# d / dx (3y ^ 2) #
# -> 2 * 3 * y * dy / dx #
# = 6ydy / dx #
Teď na # 4xy #. K tomu budeme potřebovat pravidla pro napájení, řetězec a produkty:
# d / dx (4xy) #
# -> 4d / dx (xy) #
# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Pravidlo produktu: # d / dx (uv) = u'v + uv '#
# = 4 (y + xdy / dx) #
# = 4y + 4xdy / dx #
Dobře, konečně # x ^ 2y # (další pravidla pro produkty, napájení a řetězy):
# d / dx (x ^ 2y) #
# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #
# = 2xy + x ^ 2dy / dx #
Nyní, když jsme našli všechny naše deriváty, můžeme tento problém vyjádřit jako:
# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #
# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
(Pamatujte, že derivace konstanty je #0#).
Nyní sbíráme podmínky # dy / dx # na jedné straně a přesunout vše ostatní do druhého:
# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #
# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #
# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
Vše, co zbývá udělat, je připojit #(2,5)# najít odpověď:
# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #
# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2) #
# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #
# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #
