Jaká je doména a rozsah funkce: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Odpovědět:

Doména je # (- oo, oo) # a rozsah #0, 1/2#

Vysvětlení:

Vzhledem k:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Všimněte si, že pro každou skutečnou hodnotu #X#, jmenovatel # 1 + x ^ 4 # je nenulová.

Proto #f (x) # je dobře definována pro každou skutečnou hodnotu #X# a jeho doménou # (- oo, oo) #.

Chcete-li určit rozsah, nechte:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Vynásobte oba konce # 1 + x ^ 4 # dostat:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

Odečítání # x ^ 2 # z obou stran to můžeme přepsat takto:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

To bude mít reálná řešení pouze tehdy, pokud bude diskriminační. Uvedení # a = y #, # b = -1 # a # c = y #, diskriminující #Delta# darováno:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Proto požadujeme:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Proto:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Tak # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Navíc si všimněte, že #f (x)> = 0 # pro všechny skutečné hodnoty #X#.

Proto # 0 <= y <= 1/2 #

Takže rozsah #f (x) # je #0, 1/2#