Součet série 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... do nekonečna se rovná?

Odpovědět:

Součet je # = 2ln2-1 #

Vysvětlení:

Obecný termín série je # = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) #

Provádíme rozklad na dílčí frakce

# 1 / (n (n + 1)) = A / n + B / (n + 1) #

# = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) #

Tak, # 1 = A (n + 1) + Bn #

Když # n = 0 #, #=>#, # 1 = A #

Když # n = -1 #, #=>#, # 1 = -B #

Proto, # 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) #

# (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = (- 1) ^ (n + 1) / n - (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) #

# sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n +1) / (n + 1) #

#ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n #

# sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 #

# sum_0 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = sum_0 ^ 1 (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) -sum_1 ^ oo (-1) ^ (n) x ^ (n + 1) / (n + 1) #

# sum_0 ^ oo (-1) ^ (n) x ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln (1 + x) #

# sum_0 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln2 #

# sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = ln2- (1-ln2) = 2ln2-1 #

Čtyři náboje jsou přivedeny z nekonečna a umístěny v intervalech jednoho metru, jak je znázorněno. Určete elektrickou potenciální energii této skupiny?

Předpokládejme, že náboj umístěný na počátku je q_1 a vedle něj dáváme jméno jako q_2, q_3, q_4 Nyní, potenciální energie v důsledku dvou nábojů q_1 a q_2 oddělených vzdáleností x je 1 / (4 pi epsilon) (q_1) ( q_2) / x Tak, potenciální energie systému bude 9 * 10 ^ 9 ((q_1 q_2) / 1 + (q_1 q_3) / 2 + (q_1 q_4) / 3 + (q_2 q_3) / 1 + (q_2 q_3) / 1 + ( q_2 q_4) / 2 + (q_3 q_4) / 1) (tj. součet potenciální energie v důsledku všech možných kombinací nabíjení) = 9 * 10 ^ 9 (-1/1 +1/2 + (- 1) / 3 + ( -1) / 1 +1/2

Řádek nejlepšího přizpůsobení předpovídá, že když x se rovná 35, y se rovná 34,785, ale y se skutečně rovná 37. Jaký je zbytek v tomto případě?

2.215 Zbytky jsou definovány jako e = y - y = 37 - 34,785 = 2,215

Jaká je druhá odmocnina nekonečna a druhá odmocnina nuly?

Náměstí nekonečna může být vyjádřeno jako následující limita lim_ (x-> oo) sqrtx = + oo a proto je druhá odmocnina nekonečna nekonečná. Také víme, že oo * oo = oo proto uzavíráme stejnou odpověď. Limit druhé odmocniny nuly je nula.