Jaký je rozsah funkce f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Odpovědět:

Rozsah je #R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

Vysvětlení:

Všimněte si, že jmenovatel je kdykoliv nedefinován

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, to znamená kdykoliv

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

nebo

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, kde #nv ZZ # (# n # je celé číslo).

Tak jako #X# přístupů #x_ (1, n) # zespodu, #f (x) # přístupů # - infty #, když #X# přístupů #x_ (1, n) # shora #f (x) # přístupů # + infty #. Toto je kvůli rozdělení “téměř #-0# nebo #+0#'.

Pro #x_ (2, n) # situace je opačná. Tak jako #X# přístupů #x_ (2, n) # zespodu, #f (x) # přístupů # + infty #, když #X# přístupů #x_ (2, n) # shora #f (x) # přístupů # -infty #.

Dostaneme sled intervalů, ve kterých #f (x) # je spojitá, jak je vidět na grafu. Zvažte nejprve "misky" (na jejichž koncích funkce fouká až # + infty #). Pokud v těchto intervalech najdeme místní minima, pak to víme #f (x) # přebírá všechny hodnoty mezi touto hodnotou a # + infty #. Můžeme udělat totéž pro "vzhůru nohama misky" nebo "čepice".

Všimli jsme si, že nejmenší kladná hodnota je získána vždy, když jmenovatel v roce 2006 #f (x) # je tak velká, jak je to jen možné #sin (x) = 1 #. Z toho vyplývá, že nejmenší kladná hodnota #f (x) # je #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Podobně bylo zjištěno, že největší záporná hodnota je #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Vzhledem k kontinuitě #f (x) # v intervalech mezi nespojitostí a teorémem střední hodnoty můžeme konstatovat, že rozsah #f (x) # je

#R = (-infty, -1/2 uu 1/6, + infty #

Tvrdé závorky znamenají, že číslo je zahrnuto v intervalu (např. #-1/2#), zatímco měkké závorky znamenají, že číslo není zahrnuto.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}