Odpovědět:
Bod # (x, y) = ((27/2) ^ (1/11), 3 * (2/27) ^ {4/11}) cca (1.26694,1.16437) # je místní minimální bod.
Vysvětlení:
Částečné deriváty prvního řádu jsou # (částečný f) / (částečný x) = y-3x ^ {- 4} # a # (částečný f) / (částečný y) = x-2y ^ {- 3} #. Nastavení obou se rovná nulovým výsledkům v systému # y = 3 / x ^ (4) # a # x = 2 / y ^ {3} #. Podtitulování první rovnice do druhé dává # x = 2 / ((3 / x ^ {4}) ^ 3) = (2x ^ {12}) / 27 #. Od té doby #x! = 0 # v oblasti #F#to má za následek # x ^ {11} = 27/2 # a # x = (27/2) ^ {1/11} # aby # y = 3 / ((27/2) ^ {4/11}) = 3 * (2/27) ^ {4/11} #
Částečné deriváty druhého řádu jsou # (částečný ^ {2} f) / (částečný x ^ {2}) = 12x ^ {- 5} #, # (částečný ^ {2} f) / (částečný y ^ {2}) = 6y ^ {- 4} #, a # (částečný ^ {2} f) / (částečný x částečný y) = (částečný ^ {2} f) / (částečný y částečný x) = 1 #.
Diskriminační je proto # D = (částečný ^ {2} f) / (částečný x ^ {2}) * (částečný ^ {2} f) / (částečný y ^ {2}) - ((částečný ^ {2} f) / (částečný x částečný y)) ^ {2} = 72x ^ {- 5} y ^ {- 4} -1 #. To je v kritickém bodě pozitivní.
Vzhledem k tomu, že čisté (nemísené) parciální deriváty druhého řádu jsou také pozitivní, z toho vyplývá, že kritickým bodem je lokální minimum.
