My máme:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Krok 2 - Identifikace kritických bodů
K kritickému bodu dochází při současném řešení
# f_x = f_y = 0 iff (částečný f) / (částečný x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 #
když:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # zároveň
Z toho můžeme zjistit:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Proto požadujeme, aby:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Pak máme dvě řešení (nekonečná rovina):
#:. x = + - y #
A tak uzavíráme, že po celé délce průsečíku křivky a dvou rovin jsou nekonečně mnoho kritických bodů.
Krok 3 - Klasifikujte kritické body
Abychom mohli klasifikovat kritické body, provádíme podobný test jako u jednoho variabilního počtu pomocí druhých parciálních derivátů a Hessian Matrix.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((částečné ^ 2 f) / (částečné x ^ 2), (částečné ^ 2 f) / (částečné x částečné y)), ((částečné ^ 2 f) / (částečné y částečné x), (částečné) / (částečný y ^ 2)) | #
# f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Pak záleží na hodnotě
# {: (Delta> 0, "Je maximální, pokud" f_ (xx) <0), (, "a minimum, pokud" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je nutná další analýza):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Musíme zvážit znamení
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
V závislosti na znamení
Zde je graf funkce
A zde je graf funkce včetně letadel
