Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Odpovědět:

Existuje jeden extrém #(3,3,27)#

My máme:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

A tak odvozujeme částečné deriváty:

# (částečný f) / (částečný x) = y - 27 / x ^ 2 t a # (částečný f) / (částečný y) = x - 27 / y ^ 2 #

V extrémních nebo sedlových bodech máme:

# (částečný f) / (částečný x) = 0 t a # (částečný f) / (částečný y) = 0 t zároveň:

tj. současné řešení:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Odečtení těchto rovnic dává:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Můžeme to eliminovat # x = 0; y = 0 # a tak # x = y # je jediné platné řešení, které vede k:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

A s # x = y = 3 #, my máme:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Existuje tedy pouze jeden kritický bod, který se vyskytuje na (3,3,27), který lze vidět na tomto grafu (který zahrnuje tečnou rovinu)