Tři tyče o hmotnosti M a délce L jsou spojeny dohromady, aby vytvořily rovnostranný trojúhelník. Jaký je moment setrvačnosti systému kolem osy procházející jeho středem hmoty a kolmý k rovině trojúhelníku?

Odpovědět:

# 1/2 ML ^ 2 #

Vysvětlení:

Moment setrvačnosti jedné tyče kolem osy procházející jejím středem a kolmý na ni

# 1/12 ML ^ 2 #

To na každé straně rovnostranného trojúhelníku kolem osy procházející středem trojúhelníku a kolmé k jeho rovině je

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(teorémem paralelní osy).

Moment setrvačnosti trojúhelníku kolem této osy je pak

# 3 x 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Za předpokladu, že pruty jsou tenké, je poloha těžiště každé tyče ve středu tyče. Jak pruty tvoří rovnostranný trojúhelník, střed hmotnosti systému bude v těžišti trojúhelníku.

Nechat # d # být vzdálenost centroidu od kteréhokoliv ze stran.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

Moment setrvačnosti jedné tyče kolem osy procházející centroidem kolmým k rovině trojúhelníku pomocí paralelní osové terapie je

#I_ "tyč" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Existují tři podobně umístěné tyče, takže celkový moment setrvačnosti tří prutů by byl

#I_ "systém" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "systém" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

Druhým výrazem (1) je

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Jako moment setrvačnosti jedné tyče kolem jejího středu hmoty

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

První termín v (2) se stává

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Pomocí (3) a (4) se stane rovnice (2)

#I_ "system" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 t