Jaký je zbytek p 12 ^ (p-1), když p je prvočíslo?

Odpovědět:

Zbytek se rovná #0# když # p # je buď #2# nebo #3#a rovná se #1# pro všechna ostatní prvočísla.

Vysvětlení:

Tento problém může být v první řadě přehodnocen tak, že je třeba najít hodnotu # 12 ^ (p-1) mod p # kde # p # je prvočíslo.

Chcete-li tento problém vyřešit, musíte znát Eulerův teorém. Eulerova věta říká, že #a ^ {varphi (n)} - = 1 mod n # pro všechna celá čísla #A# a # n # to jsou coprime (nesdílejí žádné faktory). Možná se divíte, co #phphi (n) # je. Toto je vlastně funkce známá jako funkce totientu. Je definován jako rovný počtu celých čísel # <= n # taková celá čísla jsou coprime k # n #. Mějte na paměti, že číslo #1# je považován za coprime pro všechna celá čísla.

Teď, když víme, že je Eulerův teorém, můžeme tento problém vyřešit.

Všimněte si, že všechny připraví jiné než #2# a #3# jsou coprime s #12#. Odložme 2 a 3 na později a zaměřme se na zbytek prvočísel. Vzhledem k tomu, že tyto ostatní předpoklady jsou coprime na 12, můžeme na ně aplikovat Eulerovu teorém:

# 12 ^ {varphi (p)} - = 1 mod p #

Od té doby # p # je prvočíslo, #php (p) = p-1 #. To dává smysl, protože každé číslo menší než prvočíslo bude s ním coprime.

Proto nyní máme # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

Výše uvedený výraz může být přeložen do # 12 ^ {p-1} # děleno # p # má zbytek #1#.

Teď už jen musíme počítat #2# a #3#, což, jak jste říkal dříve, mělo obě zbytky #0#.

Proto jsme to dokázali # 12 ^ {p-1} # děleno # p # kde # p # je prvočíslo má zbytek #0# když je buď p #2# nebo #3# a má zbytek #1# v opačném případě.

Jedno číslo je čtyřikrát jiné číslo. Je-li menší číslo odečteno od většího čísla, výsledek je stejný, jako kdyby menší číslo bylo zvýšeno o 30. Jaká jsou tato dvě čísla?

A = 60 b = 15 Větší číslo = a menší číslo = ba = 4b ab = b + 30 abb = 30 a-2b = 30 4b-2b = 30 2b = 30 b = 30/2 b = 15 a = 4xx15 a = 60

Když je polynom dělen (x + 2), zbytek je -19. Když je stejný polynom dělen (x-1), zbytek je 2, jak určíte zbytek, když je polynom vydělen (x + 2) (x-1)?

Víme, že f (1) = 2 a f (-2) = - 19 z věty zbytku Nyní nalezneme zbytek polynomu f (x) při dělení (x-1) (x + 2) Zbytek bude ve tvaru Ax + B, protože je to zbytek po rozdělení kvadratickým. Nyní můžeme násobitele násobit kvocientem Q ... f (x) = Q (x-1) (x + 2) + Ax + B Další, vložte 1 a -2 pro x ... f (1) = Q (1-1) (1 + 2) + A (1) + B = A + B = 2 f (-2) = Q (-2-1) (- 2 + 2) + A (-2) + B = -2A + B = -19 Řešení těchto dvou rovnic, dostaneme A = 7 a B = -5 Zbytek = Ax + B = 7x-5

X, y a x-y jsou všechna dvoumístná čísla. x je čtvercové číslo. y je číslo krychle. x-y je prvočíslo. Jaký je jeden možný pár hodnot pro x a y?

(x, y) = (64,27), &, (81,64). Vzhledem k tomu, že x je dvoumístné číslo č. xv {16,25,36,49,64,81}. Podobně jsme dostali y v {27,64}. Nyní, pro y = 27, (x-y) "bude + ve prime, pokud" x> 27. Je jasné, že x = 64 splňuje požadavek. Takže (x, y) = (64,27) je jeden pár. Podobně (x, y) = (81,64) je další pár.