Zjednodušení S_ (k + 1). Dík?!!

Odpovědět:

# S_k = k (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Vysvětlení:

Nemůžeme jen nahradit # x = k + 1 # do vzorce, nebo mi něco chybí?

Sekvence je:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Takže, pokud chceme spočítat # S_k #, my jsme jen dali # n = k #, a dostat

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = k (1) (k + 2) / 3 #

V případě #S_ (k + 1) #Myslím, že můžeme jen nahradit # n = k + 1 #a budeme mít

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Pokud to chceme rozšířit, stává se

# (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (k ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (k ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = k ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = k ^ 3/3 + 2k ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Odpovědět:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Vysvětlení:

#S_n: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Nechť prohlášení platí pro n = k, #S_k: 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Ověřme si to

n = k + 1

# S_n = S_ (k + 1) #

# n + 1 = k + 2 #

# n + 2 = k + 3 #

# "s okamžitým termínem" (k + 1) (k + 2) #

# (n (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Tím pádem, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (k (k + 1) (k + 2)) / 3+ (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3 (k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Ověřeno.

Tím pádem

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #