1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? vyřešte to

Odpovědět:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Vysvětlení:

Zábava. Nevím, jak to udělat takhle, takže si zkusíme některé věci.

Zdá se, že se ve hře zjevně nejedná o doplňující nebo doplňující úhly, takže snad nejlepším krokem je začít s dvojitým úhlem.

#cos 2 theta = 2 t

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Nyní nahradíme úhly coterminálními (ty, které mají stejné trig funkce) odečtením # 2 pi.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2pi)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12) #

Nyní nahradíme úhly dodatečnými úhly, což neguje kosinus. Znaménko mínus v argumentu cosine také vypustíme, což kosinus nemění.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Odpovědět:

#2#

Vysvětlení:

Víme, že, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => barva (červená) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

Tak, #color (červená) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … až (1) #

# a cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => barva (modrá) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => barva (modrá) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … až (2) #

Použitím # (1) a (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + barva (červená) (cos ^ 2 ((31π) / 24) + barva (modrá) (cos ^ 2 ((37π) / 24) #

# = cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + barva (červená) (sin ^ 2 ((19pi) / 2) + barva (modrá) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … až as, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#=2#