Co je inverzní k f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Odpovědět:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Vysvětlení:

Za předpokladu, že máme co do činění # log_3 # jako funkce reálné hodnoty a inverze # 3 ^ x #, pak doménu #f (x) # je # (3, oo) #, protože potřebujeme #x> 3 # aby # log_3 (x-3) # být definován.

Nechat #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Pak:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Tak:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Tak:

# 3 ^ (- y / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Tak:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) #

Ve skutečnosti to musí být kladná odmocnina, protože:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Tak:

#x = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #

Proto:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- y / 3) +9/4) + 3/2 #