Jaká je oblast rovnostranného trojúhelníku, jehož vrcholy leží na kruhu s poloměrem 2?

Odpovědět:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5.196 #

Vysvětlení:

Viz obrázek níže

Obrázek představuje rovnostranný trojúhelník vepsaný do kruhu, kde # s # znamená strany trojúhelníku, # h # znamená výšku trojúhelníku a # R # znamená poloměr kruhu.

Vidíme, že trojúhelníky ABE, ACE a BCE jsou kongruenty, proto můžeme říci tento úhel #E hat C D = (klobouk C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Můžeme vidět #triangle_ (CDE) # že

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = zrušit (2) * R * sqrt (3) / zrušit (2) # => # s = sqrt (3) * R #

v #triangle_ (ACD) # to nevidíme

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # h = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # h = (3R) / 2 #

Ze vzorce oblasti trojúhelníku:

# S_triangle = (základní * výška) / 2 #

Dostaneme

# S_triangle = (s * h) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * zrušit (2 ^ 2)) / zrušit (4) = 3 * sqrt (3) #