V jakých intervalech je následující rovnice konkávní, konkávní dolů a kde je její inflexní bod (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

V jakých intervalech je následující rovnice konkávní, konkávní dolů a kde je její inflexní bod (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?
Anonim

Odpovědět:

  • -li # 0 <x <e ^ (- 15/56) # pak #F# je konkávní dolů;
  • -li #x> e ^ (- 15/56) # pak #F# je konkávní;
  • # x = e ^ (- 15/56) # je (klesající) inflexní bod

Vysvětlení:

Analyzovat konkávní a inflexní body dvojitě diferencovatelné funkce #F#, můžeme studovat pozitivitu druhého derivátu. Ve skutečnosti, pokud # x_0 # je bod v doméně #F#, pak:

  • -li #f '' (x_0)> 0 #, pak #F# je konkávní v sousedství # x_0 #;
  • -li #f '' (x_0) <0 #, pak #F# je konkávní dolů v sousedství # x_0 #;
  • -li #f '' (x_0) = 0 # a znamení #F''# na dostatečně malém pravém sousedství # x_0 # je naproti znamení #F''# na dostatečně malém levém sousedství # x_0 #, pak # x = x_0 # se nazývá inflexní bod z #F#.

Ve specifickém případě #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, máme funkci, jejíž doména musí být omezena na pozitivní skutečnosti #RR ^ + #.

První derivát je

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Druhou derivací je

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Podívejme se na pozitivitu #f '' (x) #:

  • # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
  • # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Takže vzhledem k tomu, že doména je #RR ^ + #, dostaneme to

  • -li # 0 <x <e ^ (- 15/56) # pak #f '' (x) <0 # a #F# je konkávní dolů;
  • -li #x> e ^ (- 15/56) # pak #f '' (x)> 0 # a #F# je konkávní;
  • -li # x = e ^ (- 15/56) # pak #f '' (x) = 0 #. Vzhledem k tomu, že na levé straně tohoto bodu #F''# je negativní a napravo je to pozitivní # x = e ^ (- 15/56) # je (klesající) inflexní bod