Míč spadne přímo dolů z výšky 12 stop. Po nárazu na zem odrazí zpět 1/3 vzdálenosti, kterou spadl. Jak daleko bude míč (jak vzhůru, tak dolů), než přijde k odpočinku?

Odpovědět:

Míč se bude pohybovat 24 stop.

Vysvětlení:

Tento problém vyžaduje zvážení nekonečných řad. Zvažte skutečné chování míče:

Nejprve míč spadne o 12 stop.

Dále se míč odrazí nahoru #12/3 = 4# nohy.

Míč pak spadne na 4 stopy.

Při každém následujícím odrazu míček míří

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # nohy, kde # n # je počet odrazů

Pokud si tedy představíme, že míč začíná od #n = 0 #, pak naše odpověď může být získána z geometrické řady:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Poznámka: #-12# opravného termínu, je to proto, že pokud začneme od # n = 0 # počítáme 0 0 odrazu 12 stop nahoru a 12 stop dolů. Ve skutečnosti míč míří pouze polovinu, protože začíná ve středu.

Můžeme zjednodušit náš součet:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Toto je jen jednoduchá geometrická řada, která následuje pravidlo, že: t

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Tak dlouho jak # | r | <1 #

To přináší jednoduché řešení našeho problému:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# nohy.