Proč je druhá odmocnina 5 iracionální číslo?

Odpovědět:

Viz vysvětlení …

Vysvětlení:

Zde je náčrt důkazu v rozporu:

Předpokládat #sqrt (5) = p / q # pro některá pozitivní celá čísla # p # a # q #.

Bez ztráty obecnosti můžeme předpokládat, že #p, q # jsou nejmenší taková čísla.

Potom podle definice:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Vynásobte oba konce # q ^ 2 # dostat:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Tak # p ^ 2 # je dělitelný #5#.

Od té doby #5# je prvočíslo, # p # musí být dělitelné #5# také.

Tak #p = 5m # pro některé kladné celé číslo # m #.

Takže máme:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Rozdělte oba konce podle #5# dostat:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Rozdělte oba konce podle # m ^ 2 # dostat:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Tak #sqrt (5) = q / m #

Nyní #p> q> m #, tak #q, m # je menší pár celých čísel, jejichž kvocient je #sqrt (5) #, což je v rozporu s naší hypotézou.

Takže naše hypotéza #sqrt (5) # mohou být zastoupeny # p / q # pro některá celá čísla # p # a # q # je nepravdivé. To znamená, #sqrt (5) # není racionální. To znamená, #sqrt (5) # je iracionální.