#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) #
První věc, kterou můžeme udělat, je zrušit kořeny na těch, které mají stejné pravomoci. Od té doby:
#sqrt (x ^ 2) = x # a #sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 # pro libovolné číslo to můžeme říct
#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #
# sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) #
Nyní, #7^3# lze přepsat jako #7^2*7#a to #7^2# se může dostat z kořene! Totéž platí pro #7^5# ale je přepsán jako #7^4*7#
#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #
# sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49 + 49sqrt (7) #
Nyní dáme kořen do důkazu, #sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = #
# (1 + 7 + 49) sqrt (7) + 7 + 49 #
A součet čísel, které zbývají
#sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = 56 + 57sqrt (7) #
Existuje způsob, jak najít obecný vzorec pro tyto součty s použitím geometrických průběhů, ale nebudu to tu klást, protože si nejsem jistý, jestli jste to měli a neudělali to příliš dlouho.
