Jak zjistíte oblast ohraničenou křivkami y = -4sin (x) a y = sin (2x) v uzavřeném intervalu od 0 do pi?

Odpovědět:

Vyhodnotit

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Oblast je: #8#

Vysvětlení:

Oblast mezi dvěma spojitými funkcemi #f (x) # a #g (x) # přes #xv a, b # je:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Proto musíme najít, kdy #f (x)> g (x) #

Nechť křivky jsou funkce:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Vím to #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Rozdělte #2# což je pozitivní:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Rozdělte # sinx # bez obrácení znaménka, protože #sinx> 0 # pro každého #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Což je nemožné, protože:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Takže počáteční prohlášení nemůže být pravdivé. Proto, #f (x) <= g (x) # pro každého #x v 0, π #

Integrál se vypočítá:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#