Co je integrál (ln (xe ^ x)) / x?

Odpovědět:

# # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Vysvětlení:

Dostali jsme:

# # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Použitím #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Použitím #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Použitím #ln (e) = 1 #:

# = # (ln (x) + x) / (x) dx #

Rozdělení frakce (# x / x = 1 #):

# = # (ln (x) / x + 1) dx #

Oddělení součtových integrálů:

# = #ln (x) / xdx +

Druhý integrál je jednoduše #x + C #, kde #C# je libovolná konstanta. První integrál, který používáme # u #- náhrada:

Nechat #u ekvivalent ln (x) #, proto #du = 1 / x dx #

Použitím # u #- náhrada:

# = int udu + x + C #

Integrace (libovolná konstanta #C# může absorbovat libovolnou konstantu prvního neurčitého integrálu:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Nahrazení zpět z hlediska #X#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Odpovědět:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Vysvětlení:

Začneme s použitím následující logaritmické identity:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Použijeme-li to k integrálu, dostaneme:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x # x

Ke zhodnocení zbývajícího integrálu používáme integraci podle částí:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Nechám #f (x) = ln (x) # a #g '(x) = 1 / x #. Pak můžeme spočítat, že:

#f '(x) = 1 / x # a #g (x) = ln (x) #

Poté můžeme aplikovat vzorec integrace podle částí, abychom získali:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Vzhledem k tomu, že máme integrál na obou stranách znaménka rovná se, můžeme jej vyřešit jako rovnici:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Vrátíme-li se zpět do původního výrazu, dostaneme konečnou odpověď:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #