Prosím, pomozte mi v tom, jak to udělat?

Odpovědět:

#k = 3 #

Vysvětlení:

Použití vlastností exponentů, které # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # a # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, my máme

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k # #

Tím pádem #13!# je dělitelný # 24 ^ k # pokud a pouze tehdy #13!# je dělitelný # 2 ^ (3k) # a je dělitelná # 3 ^ k #.

Můžeme říci největší moc #2# kterými #13!# je dělitelný, pokud se podíváme na jeho faktory, které jsou dělitelné #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Protože žádný z podivných faktorů nepřispívá k žádným faktorům #2#, my máme

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

kde # m # je nějaké celé číslo, které není dělitelné #2#. Víme to #13!# je dělitelný # 2 ^ (3k) # pokud a pouze tehdy #2^10# je dělitelný # 2 ^ (3k) #, význam # 3k <= 10 #. Tak jako # k # je celé číslo, to znamená #k <= 3 #.

Dále se můžeme podívat, které faktory #13!# jsou dělitelné #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Jako žádné jiné faktory #13!# přispět jakýmkoli faktorem #3#, to znamená

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

kde # n # je nějaké celé číslo, které není dělitelné #3#. Víme to #3^5# je dělitelný # 3 ^ k #, význam #k <= 5 #.

Největší nezáporné celé číslo splňující omezení #k <= 3 # a #k <= 5 # je #3#, což nám dává naši odpověď # k = 3 #.

Kalkulačka to ověří #(13!)/24^3 = 450450#, zatímco #(13!)/24^4=18768.75#