Může to někdo dokázat?

Odpovědět:

Použijte sinusový zákon pro trojúhelníky a některé jednoduché goniometrické identity.

Vysvětlení:

Z sinusového zákona trojúhelníků

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

to můžeme snadno vidět

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 = {sin ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + sin C)} / {sin ^ 2A} = {2 sin ({BC} / 2) cos ({B + C} / 2) krát 2 sin ({B + C} / 2) cos ({BC} / 2)} / sin ^ 2A = {sin (BC sin (B + C)} / sin ^ 2A = {sin (BC) sin (pi-A)} / sin ^ 2A = sin (BC) / sinA #

Aby

# {b ^ 2-c ^ 2} / a ^ 2 krát sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

Další dva termíny lze získat z tohoto jednoduchého cyklického permutování #A#, # B # a #C#. Přidání těchto tří výrazů vede k důkazu triviálně.

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

První funkční období # LHS = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ 2A-sin ^ 2B) / (4R ^ 2 * sin ^ 2A) * sin2A #

# = (sin (B + C) sin (B-C)) / sin ^ 2A * sin2A #

# = (sinAsin (B-C)) / (sinA * sinA) * 2sinA * cosA #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = sin (A + B-C) -sin (A-B + C) #

# = sin (pi-2C) -sin (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Podobně Druhý termín# = sin2A-sin2B # a

Třetí termín# = sin2B-sin2A #

Celý # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Všimněte si, že # sin ^ 2A-sin ^ 2B = sin (A + B) * sin (A-B) #

Odpovědět:

S laskavým odkazem na Vysvětlení.

Vysvětlení:

Prerekvizity: V obvyklé notaci pro # DeltaABC, #

Pravidlo Sine: # a / sinA = 2R, nebo sinA = a / (2R) #.

Pravidlo Cosine-Rule: # cosA = (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc) #.

My máme, # (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * {2 * a / (2R) * (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) / (2bc)} #,

# = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2)} / (Rabc) #, # = {(b ^ 2-c ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ 4-c ^ 4) -a ^ 2 (b ^ 2-c ^ 2)} / (Rabc) #.

Získání podobných výrazů pro zbývající termíny vlevo

a přidáním, následuje výsledek.