Vysvětlete, je to lineární transformace nebo ne?

Odpovědět:

Viz. níže

Vysvětlení:

Transformace #T: V t se říká, že je lineární, pokud má následující dvě vlastnosti:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # pro každého # v_1, v_2
• #T (cv) = cT (v) # pro každého #v ve V # a každý skalární #C#

Všimněte si, že druhá vlastnost předpokládá #PROTI# je vložen se dvěma operacemi součtu a skalárním násobením. V našem případě je součet součtem polynomů a násobení je násobení reálnými čísly (předpokládám).

Když odvodíte polynom, snížíte jeho stupeň o #1#, takže pokud vaše odvození polynomu stupně #4# dvakrát, dostanete polynom stupně stupně #2#. Všimněte si, že když hovoříme o množině všech čtyř stupňů polyinomií, máme ve skutečnosti na mysli množinu všech polynomů stupně nejvíce čtyři. Ve skutečnosti, obecný stupeň čtyři polynomial je

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Pokud chcete stupeň dva polynomial # 3 + 6x-5x ^ 2 #Například si jednoduše vyberete

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

S tím, co bylo řečeno, pojďme identifikovat polynomiální prostor stupně # n # s # P_n #a definovat našeho operátora #T: P_4 # takové #T (f (x)) = f '' (x) #

Předpokládejme první vlastnost: předpokládejme, že máme polynomy

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

a

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Tohle znamená tamto # p_1 + p_2 # rovná se

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # je druhá derivace tohoto polynomu, takže je

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Použil jsem dvakrát mocenské pravidlo pro odvození: druhý derivát # x ^ n # je #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Pojďme počítat #T (p_1) #druhý derivát # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Podobně, #T (p_2) #druhý derivát # p_2 #, je

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Pokud tento výraz shrnete, můžete vidět, že máme

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Druhá vlastnost je zobrazena podobným způsobem: daný polynom

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

máme pro každé reálné číslo #C#,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

jeho druhá derivace je tedy

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

který je opět stejný jako výpočet #T (p) #a pak vše rozmnožte #C#, tj. #T (cp) = cT (p) #