Odpovědět:
#3#
Vysvětlení:
Nechat
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7 + …)
kde omezujeme naše řešení tak, aby bylo pozitivní, protože bereme jen pozitivní odmocninu, tzn. #x> = 0 #. Na obou stranách máme
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + … oo #
Tam, kde tentokrát omezujeme levou stranu, aby byla pozitivní, protože chceme pouze pozitivní odmocninu, tzn.
# x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #
kde jsme odstranili možnost #x <= - sqrt (7) # pomocí našeho prvního omezení.
Opět zaboříme obě strany, které máme
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + …….. oo #
Výraz v opakovaných odmocninách je původním výrazem pro #X#, proto
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
nebo
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
Zkušební řešení této rovnice jsou # x = -2 # a # x = + 3 # což má za následek následující faktorizaci
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
Použití kvadratického vzorce na třetím faktoru # (x ^ 2 + x-7) = 0 # dává nám další dva kořeny:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2,19 "a" -3,19 #
Čtyři kořeny polynomu jsou proto #-3.19…, -2, 2.19…, # a #3#. Pouze jedna z těchto hodnot splňuje naše omezení #x> = sqrt (7) ~ = 2,65 #, proto
# x = 3 #
Odpovědět:
Jiná cesta
Vysvětlení:
Rád bych diskutoval o složitém způsobu, jak na první pohled vyřešit problém opakovaných odmocnin, jako je následující
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r + …….. oo #
kde # r # patří do následující řady
#3,7,13,21,31…………#, jejíž obecný termín je dán
# m ^ 2-m + 1 # kde # m epsilon N # a #m> 1 #
TRIK
Pokud je odečteno 1 od daného čísla # m ^ 2-m + 1 # výsledné číslo se stává # m ^ 2-m # který je #m (m-1) # a to není nic jiného než produkt dvou po sobě jdoucích čísel a větší z těchto dvou bude jedinečným řešením problému.
když r = # m ^ 2-m + 1 # faktorem # m ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) m # a m je odpověď
když r = 3, je odpovědí faktor (3-1) = 2 = 1,2 a 2
když r = 7 je faktor (7-1) = 6 = 2,3 a 3 je odpověď
a tak dále…….
Vysvětlení
Užívání
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r + …….. oo #
Na obou stranách
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #
Opět Squaring obě strany
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + …….. oo #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
uvedení r = # m ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
jestliže my dáme x = m v LHS této rovnice LHS stane se
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (zrušit (m ^ 2) - zrušit (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1) ^ 2- (m-1) ^ 2 = 0 #
rovnice je splněna.
Odpověď je tedy m
pojďme
# x = sqrt (7 + sqrt (7 + sqrt (7-sqrt … #
Můžeme to snadno vidět
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
Pojďme tedy vyřešit rovnici:
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7-x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
To není triviální rovnice, která má být vyřešena. Jedna z dalších osob, která odpověděla na otázku, předložila řešení 3. Pokud to zkusíte, uvidíte, že je to pravda.
