T_n (x) je Chebyshevův polynom stupně n. FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Jak dokazujete, že hodnota 18-SD tohoto FCF pro n = 2, x = 1,25 je # 6.00560689395441650?

Odpovědět:

Pro tento komplikovaný FCF viz vysvětlení a super Socratovy grafy

Vysvětlení:

y je hyperbolická hodnota kosinu, a tak, #abs y> = 1 # a FCF

graf je symetrický vzhledem k ose y.

# T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #

FCF je generován

# y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Diskrétní analog pro aproximaci y je nelineární rozdíl

rovnice

# y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Zde x = 1,25.

Tvorba 37 iterací se startérem # y_0 = cosh (1) = 1,54308.. #, dlouhá přesnost 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6.00560689395441650 #

s # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #pro tuto přesnost.

graf {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1,25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6)) ^ 2-.001) = 0 -2 2 0 10}

Graf pro 6-sd v y (1.25) = 6.00561:

graf {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Očekávám aplikace tohoto typu FCF, v počítači

aproximace.

Všimněte si, že navzdory tomu, že je to funkce, uprostřed

grafu chybí a to je diskontinuita.