Jaká je přibližná hodnota sqrt {107}?

Odpovědět:

#sqrt (107) ~ ~ 31/3 ~ ~ 10,33 #

Vysvětlení:

Všimněte si, že:

#10^2 = 100#

#11^2 = 121#

#107# je přesně #1/3# mezi cestou #100# a #121#.

To je:

#(107-100)/(121-100) = 7/21 = 1/3#

Můžeme tedy lineárně interpolovat mezi #10# a #11# najít:

#sqrt (107) ~ ~ 10 + 1/3 (11-10) = 10 + 1/3 = 31/3 ~ ~ 10,33 #

(Na lineárně interpolovat v tomto příkladu je přibližná křivka paraboly grafu # y = x ^ 2 # mezi #(10, 100)# a #(11, 121)# jako přímka)

Bonus

Pro větší přesnost můžeme použít:

#sqrt (a ^ 2 + b) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))) # #

Uvedení # a = 31/3 # chceme:

#b = 107- (31/3) ^ 2 = 963/9 - 961/9 = 2/9 #

Pak:

#sqrt (107) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3 + …)) #)

Jako první krok ke zlepšení:

#sqrt (107) ~ ~ 31/3 + (2/9) / (62/3) = 31/3 + 1/93 = 962/93 ~ ~ 10.3441 #

Pokud chceme více přesnosti, použijte více výrazů:

#sqrt (107) ~ ~ 31/3 + (2/9) / (62/3 + (2/9) / (62/3)) = 31/3 + (2/9) / (62/3 + 1/93) = 31/3 + (2/9) / (1923/93) = 31/3 + 62/5769 = 59675/5769 ~ ~ 10,34408043 #