Co je orthocenter trojúhelníku s rohy na (5, 9), (4, 3) a (1, 5) #?

Odpovědět:

# (11 / 5,24 / 5) nebo (2,2,4,8) #

Vysvětlení:

Opakování bodů:

#A (5,9) #

#B (4,3) #

#C (1,5) #

Orthocenter trojúhelníku je bod, kde se linie výšek relativně s každou stranou (procházející protilehlým vrcholem) setkává. Potřebujeme tedy pouze rovnice 2 řádků.

Sklon čáry je # k = (Delta y) / (Delta x) # a sklon čáry kolmé k první je # p = -1 / k # (když #k! = 0 #).

# AB-> k = (3-9) / (4-5) = (- 6) / (- 1) = 6 # => # p = -1 / 6 #

# BC-> k = (5-3) / (1-4) = 2 / (- 3) = - 2/3 # => # p = 3/2 #

# CA-> k = (9-5) / (5-1) = 4/4 = 1 # => # p = -1 #

(Mělo by být zřejmé, že pokud zvolíme pro jednu z rovnic svah # p = -1 # náš úkol by byl snazší. Zvolím si lhostejně, vyberu si první a druhé sjezdovky)

Rovnice přímky (procházející #C#), ve které leží výška kolmá k AB

# (y-5) = - (1/6) (x-5) # => #y = (- x + 1) / 6 + 5 # => #y = (- x + 31) / 6 #1

Rovnice přímky (procházející #A#), ve které leží výška kolmá k BC

# (y-9) = (3/2) (x-5) # => # y = (3x-15) / 2 + 9 # => # y = (3x + 3) / 2 # 2

Kombinace rovnic 1 a 2

# {y = (- x + 31) / 6 #

# {y = (3x + 3) / 2 # => # (- x + 31) / 6 = (3x + 3) / 2 # => # -2x + 62 = 18x + 18 # => # x = 44/20 # => # x = 11/5 #

# -> y = (- 11/5 + 31) / 6 = (- 11 + 155) / 30 = 144/30 # => # y = 24/5 #

Takže orthocenter je #(11/5,24/5)#