Jaká je derivace f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Proces:

Za prvé, budeme dělat rovnici o něco snazší. Vezměte sáň obou stran:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Dále přepište z hlediska # cos #:

# 1 / cos y = x #

A vyřešte # y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = útulný #

#y = arccos (1 / x) #

Teď to vypadá mnohem snadněji rozlišovat. Víme, že

# d / dx arccos (alfa) = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)) #

můžeme použít tuto identitu i pravidlo řetězu:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Trocha zjednodušení:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Trochu více zjednodušení:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Aby se rovnice trochu hezčí, pohybuji se # x ^ 2 # uvnitř radikálu:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) # #

Konečné snížení:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

A máme tu derivaci.

Když se rozlišují inverzní trig funkce, klíčem je dostat je do formy, která se snadno řeší. Více než cokoliv jiného, to je cvičení ve vašem poznání trig identity a algebraické manipulaci.