Najděte rovnici kružnice s A (2, -3) a B (-3,5) jako koncové body průměru?

Abychom našli rovnici kruhu, musíme najít poloměr i střed.

Protože máme koncové body průměru, můžeme použít střední bodový vzorec pro získání středního bodu, který je také středem kruhu.

Hledání středu:

#M = ((2 + (- 3)) / 2, (- 3 + 5) / 2) = (- 1 / 2,1) #

Takže střed kruhu je #(-1/2,1)#

Nalezení poloměru:

Protože máme koncové body průměru, můžeme použít vzdálenostní vzorec pro nalezení délky průměru. Poté rozdělíme délku průměru o 2, abychom získali poloměr. Alternativně můžeme použít souřadnice středu a jeden z koncových bodů k nalezení délky poloměru (nechám to na vás - odpovědi budou stejné).

#AB = sqrt ((2 - (- 3)) ^ 2 + (-3-5) ^ 2) #

#:. AB = sqrt (89) #

# radius = sqrt (89) / 2 #

Obecná rovnice kružnice je dána:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Takže máme, # (x - (- 1/2)) ^ 2+ (y-1) ^ 2 = (sqrt (89) / 2) #

Proto je rovnice kruhu # (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Odpovědět:

# x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Vysvětlení:

Rovnice kruhu s #A (x_1, y_1) a B (x_2, y_2) # tak jako

koncové body průměru

#color (červená) ((x-x_1) (x-x_2) + (y-y_1) (y-y_2) = 0) #.

My máme, #A (2, -3) a B (-3,5).

#:.# Požadovaný okruh kruhu je, # (x-2) (x + 3) + (y + 3) (y-5) = 0 #.

# => x ^ 2 + 3x-2x-6 + y ^ 2-5y + 3y-15 = 0 #

# => x ^ 2 + y ^ 2 + x-2y-21 = 0 #

Odpovědět:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #

Velmi podrobné vysvětlení

Vysvětlení:

Je třeba vyřešit dvě věci.

1: jaký je poloměr (budeme to potřebovat)

2: kde je střed kruhu.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (modrá) ("Určení středového bodu") #

To budou střední hodnoty x a průměr y

Střední hodnota #X#: jdeme od -3 do 2, což je vzdálenost 5. Polovina této vzdálenosti je #5/2# takže máme:

#x _ ("průměr") = -3 + 5/2 = -1 / 2 #

Střední hodnota # y #: jdeme od -3 do 5, což je 8. Polovina z 8 je 4, takže máme: #-3+4=+1#

#color (červená) ("Středový bod" -> (x, y) = (-1 / 2, + 1)) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (modrá) ("Určit poloměr") #

K určení vzdálenosti mezi body používáme Pythagoras

# D = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) #

# D = sqrt (2 - (- 3) ^ 2 + - 3-5 ^ 2) #

# D = sqrt (25 + 64) = sqrt (89) # Všimněte si, že číslo 89 je prvočíslo

#color (červená) ("So rádius" -> r = D / 2 = sqrt (89) /2~~4.7169905 … "Přibližně") #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

#color (modrá) ("Určit rovnici kruhu") #

To není to, co se opravdu děje, ale to, co následuje, vám pomůže zapamatovat si rovnici.

Pokud je v centru # (x, y) = (- 1 / 2,1) # pokud přesuneme tento bod zpět na počátek (překročení osy), máme:

# (x + 1/2) a (y-1) #

Abychom to učinili do rovnice kruhu, používáme Pythagoras (opět), který dává:

# r ^ 2 = (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Ale to víme # r = sqrt (89) / 2 "so" r ^ 2 = 89/4 # dávat:

# (x + 1/2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 89/4 #