Co jsou to složitá čísla?

Komplexní čísla jsou čísla formuláře # a + bi # kde #A# a # b # jsou reálná čísla a # i # je definován jako # i = sqrt (-1) #.

(Výše uvedené je základní definice složitých čísel. Čtěte o nich o něco více.)

Stejně jako to, jak označujeme množinu reálných čísel jako # RR #, označujeme množinu komplexních čísel jako # CC #. Všimněte si, že všechna reálná čísla jsou také složitá čísla, jako jakékoli reálné číslo #X# může být napsán jako # x + 0i #.

Vzhledem ke složitému číslu # z = a + bi #Říkáme to #A# je skutečná část komplexního čísla (označeno # "Re" (z) #) a # b # je imaginární část komplexního čísla (označeno # "Im" (z) #).

Provádění operací s komplexními čísly je podobné provádění operací na binomiích. Vzhledem ke dvěma složitým číslům # z_1 = a_1 + b_1i # a # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (pamatovat # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Pro rozdělení jsme použili fakt, že # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Vzhledem ke složitému číslu # z = a + bi # říkáme # a-bi # komplexního konjugátu z # z # a označte to #bar (z) # Je to užitečná vlastnost (jak je vidět výše) #zbar (z) # je vždy reálné číslo.

Komplexní čísla mají mnoho užitečných aplikací a atributů, ale často se s nimi brzy setkáváme při jejich použití v faktoringových polynomech. Pokud se omezíme pouze na reálná čísla, polynom, jako je # x ^ 2 + 1 # nemůžeme se dále zabývat, pokud však počítáme s komplexními čísly, pak máme # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

Ve skutečnosti, pokud dovolíme složitá čísla, pak žádný jedno-proměnný polynom stupně stupně # n # může být napsán jako produkt # n # lineární faktory (případně s některými z nich). Tento výsledek je známý jako základní teorém algebry a, jak název napovídá, je velmi důležité pro algebru a má široké uplatnění.