Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x?

Odpovědět:

Bod sedla na počátku.

Vysvětlení:

My máme:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

A tak odvozujeme částečné deriváty. Pamatujte si, když částečně rozlišujeme, že rozlišujeme danou proměnnou, zatímco ostatní proměnné považujeme za konstantní. A tak:

# (částečný f) / (částečný x) = 2xy-y ^ 2 t a # (částečný f) / (částečný y) = x ^ 2-2yx #

V extrémních nebo sedlových bodech máme:

# (částečný f) / (částečný x) = 0 t a # (částečný f) / (částečný y) = 0 t zároveň:

tj. současné řešení:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Existuje tedy pouze jeden kritický bod na počátku #(0,0)#. Pro stanovení povahy kritického bodu jsou požadováni analytici multi-variabilní Taylor Series a následující výsledky testů:

# Delta = (částečný ^ 2 f) / (částečný x ^ 2) (částečný ^ 2 f) / (částečný y ^ 2) - {(částečný ^ 2 f) / (částečný x částečný y)} ^ 2 <0 => # sedlový bod

Vypočítáme tedy druhé dílčí deriváty:

# (částečný ^ 2f) / (částečný x ^ 2) = 2y t;# (částečný ^ 2f) / (částečný y ^ 2) = -2x t a # (částečné ^ 2 f) / (částečné x částečné y) = 2x-2y #

A kdy # x = 0, y = 0 # dostaneme:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

To znamená, že standardní test sedla je zahrnutý a je nutná další analýza. (To by typicky zahrnovalo pohled na znaky funkce napříč různými řezy, nebo pohled na třetí dílčí test derivací, který je mimo rozsah této otázky!).

Můžeme se také podívat na 3D graf a vyvodit rychlý závěr, že kritický bod odpovídá sedlovému bodu: