Co je doména a rozsah y = 4 / (x ^ 2-1)?

Odpovědět:

Doména: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

Rozsah: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Vysvětlení:

Nejlepší je vysvětlit pomocí grafu.

graf {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

Vidíme, že pro doménu začíná graf na záporném nekonečnu. To pak udeří na vertikální asymptote u x = -1.

To je fantastický matematický rozhovor pro graf není definován v x = -1, protože v této hodnotě máme #4/((-1)^2-1)# který se rovná #4/(1-1)# nebo #4/0#.

Protože nemůžete dělit nulou, nemůžete mít bod na x = -1, takže ho ponecháme mimo doménu (připomeňme, že doménou funkce je sbírka všech hodnot x, které produkují y-hodnota).

Pak je mezi -1 a 1 vše v pořádku, takže ho musíme zahrnout do domény.

Věci začnou znovu fungovat jako x = 1. Ještě jednou, když připojíte 1 pro x, výsledek je #4/0# tak musíme vyloučit z domény.

Abychom to shrnuli, doména funkce je od záporného nekonečna do -1, poté od -1 do 1 a pak do nekonečna. Matematický způsob vyjádření je # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

Rozsah se řídí stejnou myšlenkou: je to sada všech hodnot y funkce. Z grafu můžeme vidět, že od negativního nekonečna do -4 je vše v pořádku.

Pak začnou věci na jih. V y = -4, x = 0; ale pokud se pokusíte y = -3, nedostanete x. Hodinky:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Neexistuje žádná taková věc jako druhá odmocnina záporného čísla. Říká se, že některé číslice jsou stejné #-1/3#, což je nemožné, protože pískování čísla má vždy pozitivní výsledek.

To znamená #y = "-" 3 # je nedefinováno a tak není součástí našeho sortimentu. Totéž platí pro všechny hodnoty y mezi 4 a 0.

Od 0 výše je vše dobré až do nekonečna. Náš rozsah je pak negativní nekonečno až -4, pak 0 až nekonečno; v matematických termínech # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

Obecně platí, že pro nalezení domény a rozsahu, musíte hledat místa, kde jsou věci podezřelé. To obvykle zahrnuje věci, jako je dělení nulou, přičemž druhá odmocnina záporného čísla atd.

Kdykoliv najdete takový bod, odstraňte jej z domény / rozsahu a vytvořte si interval notace.