Trojúhelník má vrcholy A (a, b), C (c, d) a O (0, 0). Jaká je rovnice a plocha kruhu, který je popsán trojúhelníkem?

Odpovědět:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # kde

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Vysvětlení:

Zobecnila jsem otázku; Podívejme se, jak to jde. Na počátku jsem nechal jeden vrchol, což je o něco méně chaotický a snadno se přeloží libovolný trojúhelník.

Trojúhelník je samozřejmě pro tento problém naprosto nepostradatelný. Ohraničený kruh je kruh přes tři body, které jsou tři vrcholy. Trojúhelník v řešení překvapivě působí.

Některá terminologie: ohraničený kruh se nazývá trojúhelník circumcircle a jeho střed trojúhelníku Obvod.

Obecná rovnice pro kruh se středem # (p, q) # a čtvercový poloměr # s # je

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

a oblast kruhu je #A = pi s. #

Máme tři neznámé # p, q, s # a známe tři body, takže dostaneme tři rovnice:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # protože původ je na kruhu.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Pojďme vyřešit současné rovnice. Přeměňme je na dvě lineární rovnice roztažením a odečtením párů, což znamená ztrátu # p ^ 2 + q ^ 2 # vlevo a # s # napravo.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Odečítání, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Podobně, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

To jsou dvě rovnice ve dvou neznámých. # AX = K # má řešení # X = A ^ {- 1} K. # Vzpomínám si na dvě inverzní matice, které nevím, jak formátovat, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Pro nás to znamená

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

a čtvercový poloměr

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

tak oblast # pi # násobek této částky.

Vidíme, že výraz se stává symetrickějším, pokud vezmeme v úvahu, co se stane s libovolným trojúhelníkem #(A B C D E F).# Jsme si stanovili # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # ale teď to nepůjdu.

Všiml jsem si čitatele # s # je součinem tří čtvercových délek stran trojúhelníku a jmenovatele # s # je šestnáctinásobek čtvercové plochy trojúhelníku.

V Rational Trigonometry čtvercové délky jsou volány kvadranty a šestnáctinásobek čtvercové plochy se nazývá quadrea. Našli jsme quadrance poloměru circumcircle je součin čtyřúhelníků trojúhelníku děleno jeho quadrea.

Pokud potřebujeme jen poloměr nebo plochu circumcircle, můžeme shrnout výsledek zde jako:

Čtvercový poloměr circumcircle je součin čtvercových délek trojúhelníku děleno šestnáctinásobkem čtvercové plochy trojúhelníku.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #