Máme kruh s vepsaným čtvercem s vepsanou kružnicí s vepsaným rovnostranným trojúhelníkem. Průměr vnějšího kruhu je 8 stop. Materiál trojúhelníku stojí 104,95 dolarů za čtvereční stopu. Jaké jsou náklady na trojúhelníkové centrum?

Odpovědět:

Náklady na trojúhelníkové centrum je 1090,67 dolarů

Vysvětlení:

#AC = 8 # jako daný průměr kruhu.

Proto, od Pythagorean věty pro pravý rovnoramenný trojúhelník #Delta ABC #, #AB = 8 / sqrt (2) #

Pak, protože #GE = 1/2 AB #, #GE = 4 / sqrt (2) #

Je zřejmé, že trojúhelník #Delta GHI # je rovnostranná.

Bod #E# je střed kruhu, který ohraničuje #Delta GHI # a jako takový je středem průsečíků mediánů, nadmořských výšek a úhlů úhlu tohoto trojúhelníku.

Je známo, že průsečík mediánů rozděluje tyto mediány v poměru 2: 1 (pro důkaz viz Unizor a následujte odkazy Geometrie - Paralelní čáry - Mini věty 2 - Teorem 8)

Proto, # GE # je #2/3# celého mediánu (a nadmořské výšky a úhlového úhlu) trojúhelníku #Delta GHI #.

Známe tedy nadmořskou výšku # h # z #Delta GHI #, rovná se #3/2# násobeno délkou # GE #:

#h = 3/2 * 4 / sqrt (2) = 6 / sqrt (2) #

Vědět # h #, můžeme spočítat délku strany #A# z #Delta GHI # používat Pythagorean teorém:

# (a / 2) ^ 2 + h ^ 2 = a ^ 2 #

z toho:

# 4h ^ 2 = 3a ^ 2 #

# a = (2h) / sqrt (3) #

Teď můžeme spočítat #A#:

#a = (2 * 6) / (sqrt (2) * sqrt (3)) = 2sqrt (6) #

Oblast trojúhelníku je proto

#S = 1 / 2ah = 1/2 * 2sqrt (6) * 6 / sqrt (2) = 6sqrt (3) #

Za cenu 104,95 dolarů za čtvereční stopu je cena trojúhelníku

#P = 104,95 * 6sqrt (3) ~ ~ 1090,67 #