Jak použít limitní srovnávací test pro součet 1 / (n + sqrt (n)) pro n = 1 až n = oo?

Odpovědět:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverguje, to lze vidět porovnáním #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Vysvětlení:

Protože tato řada je součtem kladných čísel, musíme najít buď konvergentní řadu #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # takové #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # a došli k závěru, že naše série je konvergentní, nebo musíme najít tak odlišnou sérii #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # a uzavřít naši sérii být také odlišný.

Poznamenáváme následující:

Pro

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Proto

# n + sqrt (n) <= 2n #.

Tak

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Protože je to dobře známo #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # diverguje #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # také se liší, protože pokud by se sblížila, pak # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # by se sblížily, a to není tento případ.

Nyní pomocí porovnávacího testu to vidíme #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverguje.

Mezní porovnávací test trvá dvě série, # suma_n # a # sumb_n # kde #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

Li #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # kde #L> 0 # a je konečný, pak oba sérii konvergují nebo obě série se liší.

Měli bychom nechat # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, sekvence z dané série. Dobrý # b_n # volbou je funkce, která je silná # a_n # přístupy jako # n # se stává velkým. Tak ať # b_n = 1 / n #.

Všimněte si, že # sumb_n # diverguje (je to harmonická řada).

Vidíme to #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Pokračování dělením # n / n #, to se stává #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Protože limit je #1#, který je #>0# a definováno, vidíme to # suma_n # a # sumb_n # se bude jak rozcházet, tak sbíhat. Protože už víme # sumb_n # můžeme se domnívat, že # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # také se liší.