Jak zjistíte binomickou expanzi pro (2x + 3) ^ 3?

Odpovědět:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Vysvětlení:

S Pascalovým trojúhelníkem je snadné najít každou binomickou expanzi:

Každý termín tohoto trojúhelníku je výsledkem součtu dvou termínů na horním řádku. (například červeně)

#1#

#1. 1#

#color (modrá) (1. 2. 1) #

# 1. barva (červená) 3. barva (červená) 3. 1 #

# 1. 4. barva (červená) 6. 4. 1 #

…

Každý řádek má informace o jednom binomickém rozšíření:

První řádek, pro moc #0#

Druhý, pro moc #1#

Třetí, pro moc #2#…

Například: # (a + b) ^ 2 # po této expanzi použijeme třetí řádek modře:

# (a + b) ^ 2 = barva (modrá) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + barva (modrá) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + barva (modrá) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Pak: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

K moci #3#:

# (a + b) ^ 3 = barva (zelená) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + barva (zelená) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + barva (zelená) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + barva (zelená) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Pak # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Tak tady máme #color (červená) (a = 2x) # a #color (modrá) (b = 3) #:

A # (2x + 3) ^ 3 = barva (červená) ((2x)) ^ 3 + 3 * barva (červená) ((2x)) ^ 2 * barva (modrá) 3 + 3 * barva (červená) ((2x)) * barva (modrá) 3 ^ 2 + barva (modrá) 3 ^ 3 #

Proto: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Odpovědět:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Vysvětlení:

# (2x + 3) ^ 3 #

Použijte krychli součtové metody, ve které # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

# a = 2x; # b = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2x) ^ 3 + (3 * 2x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# 8x ^ 3 + (3 * 4x ^ 2 * 3) + (3 * 2x * 9) + 27 # =

# 8x ^ 3 + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #