Jaké je nejmenší celé číslo n, které n! = m cdot 10 ^ (2016)?

Odpovědět:

# n = 8075 #

Vysvětlení:

Nechat #v_p (k) # být násobkem # p # jako faktor # k #. To znamená, #v_p (k) # je největší celé číslo takové, že # p ^ (v_p (k)) | k #.

Pozorování:

• Pro všechny #k v ZZ ^ + # a # p # prime, máme #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (To lze snadno prokázat indukcí)

• Pro každé celé číslo #k> 1 #, my máme # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (Toto je intuitivní, jako násobky sil #2# vyskytují se častěji než násobky ekvivalentních pravomocí #5#a může být prokázáno důsledným použitím podobného argumentu)

• Pro #j, kv ZZ ^ + #, my máme #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # pro všechny hlavní dělitele # p # z # j #.

Naším cílem je najít nejmenší celé číslo # n # takové # 10 ^ 2016 | n! #. Tak jako # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, pak podle třetího pozorování to stačí potvrdit # 2016 <= v_2 (n!) # a # 2016 <= v_5 (n!) #. Druhé pozorování znamená, že ten druhý znamená první. Stačí tedy najít nejmenší celé číslo # n # takové # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

Najít # n # provedeme pozorování, které nám umožní spočítat # v_5 (5 ^ k!) #.

Mezi #1# a # 5 ^ k #, existují # 5 ^ k / 5 # násobky #5#, z nichž každá přispívá alespoň #1# k součtu #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. Jsou tu také # 5 ^ k / 25 # násobky #25#, z nichž každá přispívá dodatečně #1# po počátečním součtu. Můžeme postupovat tímto způsobem, dokud nedosáhneme jednoho násobku # 5 ^ k # (který je # 5 ^ k # sám), který přispěl # k # krát. Tímto způsobem vypočítáme součet

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = součet (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = součet (i = 1) ^ k5 ^ (ki) = součet (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

To zjistíme # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

Nakonec najdeme # n # takové # v_5 (n!) = 2016 #. Pokud spočítáme # v_5 (5 ^ k!) # pro několik hodnot # k #, shledáváme

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

Tak jako #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # potřebuje dva "bloky" #5^5#, dva #5^4#, čtyři #5^3#a tři z nich #5^2#. Tak dostaneme

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

Počítač to může rychle ověřit #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. Tím pádem #10^2016 | 8075!#, a jako #5|8075!# s multiplicitou #2016# a #5|8075#, je jasné, že postačí menší hodnota.