Funkce rychlosti je v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 pro částici pohybující se podél čáry. Jaký je posun (pokrytá čistá vzdálenost) částic během časového intervalu [-3,6]?

Odpovědět:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103.5 #

Vysvětlení:

Plocha pod křivkou rychlosti se rovná pokryté vzdálenosti.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (bílá) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (modrá) ((- 3)) ^ barva (červená) (6) #

# = (barva (červená) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (barva (modrá) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Odpovědět:

Původní otázka je poněkud matoucí, protože znamená, že přemístění a vzdálenost je to samé, což není.

Vytvořil jsem nezbytnou integraci pro každý jednotlivý případ.

Vysvětlení:

Celková vzdálenost (skalární veličina představující skutečnou délku dráhy) je dána součtem dílčích integrálů

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Celkový posun (vektorová veličina představující přímku nakreslenou od začátku do konce pohybu) se udává ve velikosti následujícím integrálem

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Graf funkce rychlosti s časem objasňuje, proč tyto integrály musí být nastaveny pro dodržení vektorových pravidel a definice, které mají být splněny.

graf {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}