Ze 7 loterií jsou 3 výherní vstupenky. Pokud někdo koupí 4 vstupenky, jaká je pravděpodobnost výhry alespoň dvou cen?

Odpovědět:

# P = 22/35 #

Vysvětlení:

Takže máme #3# vítězný a #4# vstupenky bez výher #7# vstupenky k dispozici.

Oddělme problém do čtyř nezávislých vzájemně se vylučujících případů:

a) existují #0# vyhrát vstupenky mezi nimi #4# koupil

(tak, všichni #4# zakoupené vstupenky jsou z fondu #4# nevyhrající vstupenky)

b) existuje #1# vítězný lístek mezi nimi #4# koupil

(tak, #3# zakoupené vstupenky jsou z fondu #4# nevydané vstupenky a #1# jízdenka je z fondu #3# výherní vstupenky)

c) existují #2# vyhrát vstupenky mezi nimi #4# koupil

(tak, #2# zakoupené vstupenky jsou z fondu #4# nevydané vstupenky a #2# vstupenky jsou z fondu #3# výherní vstupenky)

(d) existují #3# vyhrát vstupenky mezi nimi #4# koupil

(tak, #1# zakoupený lístek je z fondu #4# nevydané vstupenky a #3# vstupenky jsou z fondu #3# výherní vstupenky)

Každá z výše uvedených událostí má svou vlastní pravděpodobnost výskytu.Zajímají nás události (c) a (d), o kterých je problém pravděpodobnosti jejich výskytu. Tyto dvě nezávislé akce představují událost "výhra nejméně dvou cen". Protože jsou nezávislé, pravděpodobnost kombinované události je součtem jejích dvou složek.

Pravděpodobnost události (c) lze vypočítat jako poměr počtu kombinací #2# zakoupené vstupenky jsou z fondu #4# nevydané vstupenky a #2# vstupenky jsou z fondu #3# výherní vstupenky (# N_c #) na celkový počet kombinací #4# mimo #7# (N).

# P_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 #

Čitatel # N_c # se rovná počtu kombinací #2# vyhrávání vstupenek #3# dostupný # C_3 ^ 2 = (3!) / (2! * 1!) = 3 # násobeno počtem kombinací #2# vstupenky bez výher #4# dostupný # C_4 ^ 2 = (4!) / (2! * 2!) = 6 #.

Čitatel je tedy

# N_c = C_3 ^ 2 * C_4 ^ 2 = 3 * 6 = 18 #

Jmenovatelem je

# N = C_7 ^ 4 = (7!) / (4! * 3!) = 35 #

Pravděpodobnost události (c) je tedy

# P_c = N_c / N = (3 * 6) / 35 = 18/35 #

Podobně pro případ (d) máme

# N_d = C_3 ^ 3 * C_4 ^ 1 = 1 * 4 = 4 #

# P_d = N_d / N = 4/35 #

Součet pravděpodobností událostí (c) a (d) je

# P = P_c + P_d = 18/35 + 4/35 = 22/35 #