Jak se ukáže Tan ^ 2 (x / 2 + Pi / 4) = (1 + sinx) / (1-sinx)?

Odpovědět:

Důkaz níže (je to dlouhý)

Vysvětlení:

Pracuji to dozadu (ale psaní, které to dělá vpřed, by fungovalo stejně):

# (1 + sinx) / (1-sinx) = (1 + sinx) / (1-sinx) * (1 + sinx) / (1 + sinx) #

# = (1 + sinx) ^ 2 / (1-sin ^ 2x) #

# = (1 + sinx) ^ 2 / cos ^ 2x #

# = ((1 + sinx) / cosx) ^ 2 #

Pak nahraďte # t # vzorec (Vysvětlení níže)

# = ((1+ (2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 #

# = ((((1 + t ^ 2 + 2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 #

# = ((1 + t ^ 2 + 2t) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + 2t + t ^ 2) / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + t) ^ 2 / (1-t ^ 2)) ^ 2 #

# = ((1 + t) ^ 2 / ((1-t) (1 + t))) ^ 2 #

# = ((1 + t) / (1-t)) ^ 2 #

# = ((1 + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2))) ^ 2 #

# = ((tan (pi / 4) + tan (x / 2)) / (1-tan (x / 2) tan (pi / 4)) ^ 2 # Všimněte si, že: (#tan (pi / 4) = 1) #

# = (tan (x / 2 + pi / 4)) ^ 2 #

# = tan ^ 2 (x / 2 + pi / 4) #

T FORMULÁŘ PRO TÉTO VYDÁNÍ:

# sinx = (2t) / (1-t ^ 2) #, # cosx = (1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2) #, kde # t = tan (x / 2) #