Začněme s funkcí bez # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Tato funkce má jistě # x = 0 # jako root, protože jsme fakturovali #X#.
Další kořeny jsou řešení # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, ale tato parabola nemá kořeny. To znamená, že původní polynom má pouze jeden kořen.
Nyní polynom #p (x) # lichého stupně má vždy alespoň jedno řešení, protože máte
#lim_ {x -}} p (x) = - počet # # a #lim_ {x počet míst} p (x) = počet # #
a #p (x) # je spojitá, takže musí procházet přes #X# osy.
Odpověď vychází z následujících dvou výsledků:
- Polynomiální stupeň # n # má přesně # n # složité kořeny, ale nejvíce # n # skutečné kořeny
- Vzhledem k grafu #f (x) #, graf #f (x) + k # má stejný tvar, ale je vertikálně přeložen (nahoru, pokud #k> 0 #dolů).
Začneme od # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, který má pouze jedno skutečné kořeny (a tedy dva komplexní kořeny) a transformujeme ho na # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, což znamená, že to překládáme nahoru nebo dolů, takže neměníme počet řešení.
Nějaké příklady:
Původní funkce: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Přeložit nahoru: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Přeložit dolů: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Jak vidíte, vždy existuje jeden kořen
Odpovědět:
Viz. níže
Vysvětlení:
Alternativní, možná elegantnější řešení:
derivát vašeho polynomu je # 3x ^ 2-4x + 2 #, což je parabola konkávní nahoru bez kořenů, a tak vždy pozitivní. Tak, #F# je:
- Monotónně se zvyšuje
- #lim_ {x x pm} f (x) = pm počet chyb # #
- # "deg" (f) = 3 #
První dva body to ukazují #F# má přesně jeden kořen, a třetí, že ostatní dva kořeny jsou složité.
