Odpovědět:
Odpovědi naleznete níže
Vysvětlení:
Pro # x = 0 # my máme
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
Uvažujeme o nové funkci #g (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #X##v## RR #
#g (0) = 0 #, #g '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #X##v## RR #
Jako výsledek #G# roste # RR #. Tak, protože se přísně zvyšuje #G# je "#1-1#"(jedna až jedna)
Tak, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #g (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
Musíme to ukázat # x / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (f (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- #F# je spojitá na # 0, x #
- #F# je diferencovatelný v # (0, x) #
Podle průměrné hodnoty je věta # x_0 ##v## (0, x) #
pro který #f '(x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #X##v## RR # tak
rozlišujeme obě části
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x))' = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
Funkce # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # je diferencovatelný. Jako výsledek #F'# je diferencovatelný a #F# je 2 krát diferencovatelný s
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x))) ') / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (f '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #X##v## RR #
-> #F'# se přísně zvyšuje # RR # což znamená
# x_0 ##v## (0, x) # #<=># #0<## x_0 <##X# #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (x> 0) #
# x / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
