Jak hodnotíte určitý integrál int sin2theta z [0, pi / 6]?

Odpovědět:

# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Vysvětlení:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta #

nechat

#color (červená) (u = 2theta) #

#color (červená) (du = 2d theta) #

#color (červená) (d theta = (du) / 2) #

Hranice jsou změněny na #color (blue) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = int_color (modrá) 0 ^ barva (modrá) (pi / 3) sincolor (červená) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

Jak víme# intsinx = -cosx #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

proto,# int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 #

Jak hodnotíte určitý integrál int t sqrt (t ^ 2 + 1dt) ohraničený [0, sqrt7]?

Je to int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~ ~ 7,2091

Jak hodnotíte určitý integrál int (2t-1) ^ 2 z [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Nechť u = 2t-1 implikuje du = 2dt proto dt = (du) / 2 Transformace limitů: t: 0rarr1 znamená u: -1rarr1 Integrál se stane: 1 / 2int_ -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Jak hodnotíte určitý integrál int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) z [0, pi / 4]?

Pi / 4 Všimněte si, že z druhé Pythagorean identity, která 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x To znamená, že zlomek je roven 1 a to nám dává poněkud jednoduchý integrál int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4