Jak hodnotíte určitý integrál int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) z [0, pi / 4]?

Odpovědět:

# pi / 4 #

Vysvětlení:

Všimněte si, že z druhé Pythagorean identity, že

# 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x #

To znamená, že zlomek je roven 1, což nám dává poměrně jednoduchý integrál

# int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4 #

Odpovědět:

# pi / 4 #

Vysvětlení:

Zajímavé je, že si můžeme všimnout, že to odpovídá tvaru arctangentního integrálu, konkrétně:

# int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) #

Tady, jestli # u = tanx # pak # du = sec ^ 2xdx #, pak:

# intsec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = int1 / (1 + u ^ 2) du = arctan (u) = arctan (tanx) = x #

Přidání mezí:

# int_0 ^ (pi / 4) sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) dx = x _0 ^ (pi / 4) = pi / 4-0 = pi / 4 #

Jak hodnotíte určitý integrál int t sqrt (t ^ 2 + 1dt) ohraničený [0, sqrt7]?

Je to int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~ ~ 7,2091

Jak hodnotíte určitý integrál int (2t-1) ^ 2 z [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Nechť u = 2t-1 implikuje du = 2dt proto dt = (du) / 2 Transformace limitů: t: 0rarr1 znamená u: -1rarr1 Integrál se stane: 1 / 2int_ -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Jak hodnotíte určitý integrál int sin2theta z [0, pi / 6]?

Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta nechat barvu (červená) (u = 2theta) barva (červená) (du = 2d theta) barva (červená) (červená) ( d theta = (du) / 2) Hranice jsou změněny na barvu (modrá) ([0, pi / 3]) int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta = int_color (modrá) 0 ^ barva (modrá) (pi / 3) sincolor (červená) (u (du) / 2) = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu Jak víme theintsinx = -cosx = -1 / 2 (cos (pi / 3) -cos0) = -1 / 2 (1 / 2-1) = - 1/2 * -1 / 2 = 1/4 proto, int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4