Je-li kámen upuštěn v nadmořské výšce 174,9 m od vrtulníku, který stoupá rychlostí 20,68 m / s, jak dlouho se kámen dostane k zemi?

Odpovědět:

8,45 sekund.

Vysvětlení:

Směr „g“ při mluvení o zrychlení závisí na souřadném systému, který definujeme. Například pokud byste měli definovat směrem dolů jako kladné 'y', pak by g byl kladný. Úmluva má vzít nahoru jako pozitivní, takže g bude negativní. To je to, co použijeme, a my také vezmeme půdu jako #y = 0 #

#color (červená) ("EDIT:") # Přidal jsem přístup s využitím kinematických rovnic, které se naučíte brzy na dně. Všechno, co jsem zde udělal, je odvodit tyto výsledky pomocí kalkulu, ale oceňuji, že jste to možná nepokryli.Přejděte dolů na červený název pro přístup bez výpočtu.

Můžeme se na to podívat mnohem podrobněji, když začneme od nuly druhým Newtonovým zákonem. Když je kámen upuštěn, má počáteční rychlost, ale jedinou silou, která na něj působí, je gravitace. Definovali jsme směrem nahoru jako kladný směr y, takže podle Newtonova druhého zákona můžeme psát

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Je to proto, že kámen zrychlí směrem k zemi, kterou jsme definovali jako negativní směr.

Integrace tohoto výrazu dává:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # je rychlost kamene, takže když aplikujeme počáteční rychlost na #y '(0) = + 20,68 # dorazíme

# 20,68 = g * 0 + C #

#implies C = 20,68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

To modeluje rychlost a dává smysl, pokud o tom přemýšlíte. Když to bude vydáno, bude mít stejnou rychlost jako vrtulník a bude se časem pohybovat nahoru, ale jak čas postupuje, zastaví se a pak začne klesat.

Chcete-li najít posunutí, znovu se integrujeme:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Použijte počáteční podmínku #y (0) = 174,9 #

# 174.9 = 20.68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174,9 #

#terefore y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174,9 #

Chcete-li vyřešit čas na dosažení země, nastavit # y = 0 # a vyřešit kvadratické:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Toto je určitě práce pro kvadratický vzorec:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9)) / g #

Užívání #g = 9.8ms ^ (- 2) #

#t = 8.45 nebo -4.23 #

Zlikvidujeme negativní řešení, takže kámen zabere 8,45 sekund, než dopadne na zem.

#color (červená) ("No Calculus Approach") #

Víme, že #v = v_0 + na # kde #proti# je konečná rychlost, # v_0 # je počáteční rychlost, #A# je zrychlení a # t # je čas, o který se žádá.

Jak jsem řekl dříve, se vzestupným souřadnicovým systémem #G# bude negativní, ale kámen se zpočátku bude pohybovat nahoru, protože je to počáteční rychlost. Chceme najít bod, ve kterém přestane pohybovat nahoru:

Soubor #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#therefore t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Nyní použijte

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # znovu s #a = -g #

tak #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21,8 m #

To znamená, že kámen se na chvíli zastaví #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196,7 m #

Teď nemáme žádné otravné počáteční rychlosti, s nimiž bychom se mohli vyrovnat, jen z této výšky rovný pád:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Vzhledem k tomu, že vzestup je kladný, bude mít pád za následek záporné posunutí

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196,7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196,7) /9,8) #

#t = 8.45 # podle potřeby.

Odpovědět:

8.45s

Vysvětlení:

Vrtulník stoupá rychlostí # u = 20,68 m / s # Kámen, který z něj spadl, bude mít stejnou počáteční rychlost jako vzestupná rychlost vrtulníku, ale gravitační síla směrem dolů zajistí její zrychlení směrem dolů (g).

Vzhledem k tomu, že kámen z vrtulníku spadl jako původ, postupujeme následovně

Li nahoru počáteční rychlost pozitivní pak zrychlení směrem dolů (g) by měla být brána jako negativní a posun směrem dolů (h) rovněž zvážit negativní.

#color (červená) ("Zde vzhůru + ve a dolů -ve") #

Nyní výpočet času (t) dosažení země

Takže máme

# u = + 20,68 m / s #

# g = -9,8 m / s ^ 2 #

# h = -174,9 m #

#t =? #

Vložení těchto v rovnici pohybu pod gravitací (obsahující proměnné h, u, g, t) dostaneme

# h = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => t = (20,68 + sqrt ((- 20,68) ^ 2-4 * 4,9 * (- 174,9)) / (2 * 4,9) #

#:. t = 8.45s #

Stejná rovnice (1) bude získána, pokud obrátíme směr#color (červená) ("tzn. směrem nahoru - ive a dolů + ive.") #