Jaký je rozsah funkce f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Odpovědět:

Rozsah je 1, # oo #)

Vysvětlení:

Při prvním pohledu na tento problém bych se zaměřil na doménu. Mít x pod druhou odmocninou má obvykle za následek omezenou doménu. To je důležité, protože pokud body v doméně neexistují, musíme se ujistit, že je nezahrnujeme ani do rozsahu!

Doména pro #f (x) # je (-# oo #, -#sqrt (1/2) #)#U u#(#sqrt (1/2) #, # oo #), tak jako # 2x ^ 2 -1 # nesmí být menší než #0# nebo výsledné číslo bude imaginární.

Nyní se musíme podívat na koncové chování a zjistit, kam směřuje funkce # oo # a -# oo # pro #X#. Při pohledu na koncové chování můžeme ignorovat menší detaily, které neovlivňují celkový tvar funkce. Při popisu koncového chování funkce #g (x) # se obvykle používá.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

A záporné a kladné nekonečno

G(-# oo #) = # 5 ^ | -oo | #

G(# -oo #) = # oo #

G(# oo #) = # 5 ^ | oo |

G(# oo #) = # oo #

#f (x) # míří k pozitivnímu nekonečnu oběma směry

Teď musíme najít minimum, které je funkce. Mějte na paměti, že #f (x) # není kontinuální, jak jsme ukázali ve své omezené doméně.

Od té doby #f (x) # je sudá funkce (symetrická na ose y) a # y # zvětšuje se jako velikost #X# minimální # y # hodnota se nachází tam, kde #X# je nejblíže 0. V našem případě to bude -#sqrt (1/2) # nebo #sqrt (1/2) # vzhledem k omezené doméně. Umožňuje připojit #sqrt (1/2) # najít minimum.

F(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

F(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

F(#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

F(#sqrt (1/2) #) = #5^0#

F(#sqrt (1/2) #) = 1

Rozsah bude tedy 1, # oo #)

Odpovědět:

1, pozitivní nekonečno

Vysvětlení:

Když grafujete tuto funkci (doporučuji Desmos, pokud ji nemáte graficky znázorněn), můžete vidět nejnižší část funkce, která se dotýká 1 na ose y a pokračuje pozitivně do nekonečna. Snadný způsob, jak to najít bez grafu, je zjistit, zda máte v rovnici nějaká omezení. Vzhledem k tomu, že neexistují žádné odmocniny záporných čísel, víme, že pokud nastavíme exponent na 0, můžeme najít nejnižší možnou hodnotu x.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

# x = sqrt (1/2) #

Teď, když máme omezení Domény, můžeme to použít pro původní rovnici

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Nyní jsme zjistili, že nejnižší možná hodnota y je 1 a neexistuje žádné omezení, jak vysoké hodnoty y mohou jít. Rozsah je tedy od kladného 1 (včetně) do pozitivního nekonečna.