Získat kvadratický polynom s následujícími podmínkami? 1. součet nula = 1/3, součin nula = 1/2

Odpovědět:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Vysvětlení:

Kvadratický vzorec je #x = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Součet dvou kořenů:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) + (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = - (2b) / (2a) = - b / a #

# -b / a = 1/3 #

# b = -a / 3 #

Produkt dvou kořenů:

# (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) = ((- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) (-b-sqrt (b ^ 2-4ac))) / (4a ^ 2) = (b ^ 2-b ^ 2 + 4ac) / (4a ^ 2) = c / a #

# c / a = 1/2 #

# c = a / 2 #

My máme # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

Důkaz:

# 6x ^ 2-2x + 3 = 0 #

# x = (2-sqrt ((- 2) ^ 2-4 (6 * 3)) / (2 * 6) = (2 + -sqrt (4-72)) / 12 = (2 + -2sqrt (17) i) / 12 = (1 + -sqrt (17) i) / 6 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 + (1-sqrt (17) i) / 6 = 2/6 = 1/3 #

# (1 + sqrt (17) i) / 6 * (1-sqrt (17) i) / 6 = (1 + 17) / 36 = 18/36 = 1/2 #

Odpovědět:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #

Vysvětlení:

Pokud máme obecnou kvadratickou rovnici:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 iff x ^ 2 + b / ax + c / a = 0 #

A označujeme kořen rovnice # alpha # a #beta#máme také:

# (x-alfa) (x-beta) = 0 iff x ^ 2 - (alfa + beta) x + alfa beta = 0 #

Což nám dává studované vlastnosti:

# {: ("součet kořenů", = alfa + beta, = -b / a), ("produkt kořenů", = alfa beta, = c / a):} #

Máme tedy:

# {: (alfa + beta, = -b / a, = 1/3), (alfa beta, = c / a, = 1/2):} #

Hledaná rovnice je tedy:

# x ^ 2 - "(součet kořenů)" x + "(produkt kořenů)" = 0 #

tj.:

# x ^ 2 - 1 / 3x + 1/2 = 0 #

A (volitelně), abychom odstranili zlomkové koeficienty, násobíme #6# dávat:

# 6x ^ 2 - 2x + 3 = 0 #