Jaká je rychlost částic pro t = 0 až t = 10, která zrychluje veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Odpovědět:

Průměrná rychlost: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"slečna"#

Rychlost v čase #t = 0 # # "s" #: #0# #"slečna"#

Rychlost na #t = 10 # # "s" #: # 2,40 xx 10 ^ 4 # #"slečna"#

Vysvětlení:

Předpokládám, že to myslíš ty průměrná rychlost z #t = 0 # na #t = 10 # # "s" #.

Dostali jsme složky zrychlení částic a požádali jsme o nalezení průměrné rychlosti nad první #10# sekundy jeho pohybu:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

kde

#v_ "av" # je velikost průměrné rychlosti a. t
# Deltar # je změna polohy objektu (z #0# # "s" # na #10# # "s" #).

Proto musíme najít polohu objektu v těchto dvou časech.

Z této rovnice zrychlení musíme odvodit pozici rovnice integrací dvakrát:

První integrace:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (rychlost)

Druhá integrace:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (pozice)

Předpokládá se, že počáteční pozice je na počátku, takže se připojme #10# pro # t # v rovnici pozice:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Poté můžeme rovnici průměrné rychlosti rozdělit na složky:

#v_ "av-x" = (Deltaxe) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = barva (červená) (250 # #color (červená) ("m / s" # #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = barva (modrá) (250/3 # #color (modrá) ("m / s" # #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = barva (zelená) (- 6000 # #color (zelená) ("m / s" # #

Pomocí těchto komponent můžeme zjistit velikost vektoru průměrné rychlosti:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = barva (fialová) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (fialová) ("m / s" # #

(Tady je okamžitý úsek rychlosti).

Najít okamžité rychlosti na #t = 0 # a #t = 10 # # "s" #, pojďme nejprve zapojit tyto časy do dříve integrované rovnice rychlosti:

#t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s)) ^ 2) hatj - (2 (0" s)) ^ 4 + 400 (0 "s)) hatk #

# = barva (červená) (0 # #color (červená) ("m / s" # #

#t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s)) ^ 2) hatj - (2 (10" s)) ^ 4 + 400 (10 "s) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

Velikost této rychlosti je tedy

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = barva (modrá) (2,40 xx 10 ^ 4 # #color (modrá) ("m / s" # #