Co je lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2?

Odpovědět:

#lim_ (x-> oo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #

Vysvětlení:

Nechat # y = (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

# lny = ln ((e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2) #

# lny = lne ^ (2x) + ln (sin (1 / x)) - lnx ^ 2 #

# lny = 2xlne + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

# lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = lim_ (x-> oo) 2x + ln (sin (1 / x)) - 2lnx #

#lim_ (x-> oo) lny = oo #

# e ^ lny = e ^ oo #

# y = oo #

Odpovědět:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = oo #. Viz níže vysvětlující část.

Vysvětlení:

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 #

Všimněte si, že: # (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #

Nyní, as # xrarroo #, první poměr se zvyšuje bez vázání, zatímco druhý jde #1#.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 * lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 /X)#

# = oo #

Další vysvětlení

Zde je odůvodnění, které vedlo k výše uvedenému řešení.

#lim_ (xrarroo) (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 # má počáteční formu # (oo * 0) / oo #.

Toto je neurčitá forma, ale na tuto formu nemůžeme použít l'Hospitalovo pravidlo.

Můžeme to přepsat jako # (e ^ (2x)) / (x ^ 2 / sin (1 / x)) # získat formulář # oo / oo # na které bychom mohli aplikovat l'Hospital. Nicméně, já nechci, aby derivát tohoto jmenovatele.

Odvolej to #lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1 #.

Aby #lim_ (xrarroo) sin (1 / x) / (1 / x) = 1 #.

To je to, co motivuje přepsání použité výše.

# (e ^ (2x) sin (1 / x)) / x ^ 2 = e ^ (2x) / x ^ 3 * sin (1 / x) / (1 / x) #.

Tak jako #X# zvyšuje bez vázání, # e ^ x # jde do nekonečna mnohem rychleji # x ^ 3 # (rychlejší než jakýkoliv výkon #X#).

Tak, # e ^ (2x) = (e ^ x) ^ 2 # vybuchne ještě rychleji.

Pokud tuto skutečnost nemáte k dispozici, použijte pravidlo l'Hospital

#lim_ (xrarroo) e ^ (2x) / x ^ 3 = lim_ (xrarroo) (2e ^ (2x)) / (3x ^ 2) #

# = lim_ (xrarroo) (8e ^ (2x)) / (6) = oo #