Co je stejné? lim_ (x-> pi / 2) sin (cosx) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) =?

Odpovědět:

#1#

Vysvětlení:

# "Všimněte si, že:" barva (červená) (cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = cos (2x)) #

# "Tak tady máme" #

#lim_ {x-> pi / 2} sin (cos (x)) / cos (x) #

# "Nyní platí pravidlo de l 'Hôptial:" #

# = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) * (- sin (x)) / (- sin (x)) #

# = lim_ {x-> pi / 2} cos (cos (x)) #

# = cos (cos (pi / 2)) #

# = cos (0) #

#= 1#

Odpovědět:

# 1#.

Vysvětlení:

Zde je způsob, jak najít limit bez použitím Pravidlo L'Hospital:

Budeme používat, #lim_ (alfa až 0) sinalpha / alfa = 1 #.

Jestli to vezmeme # cosx = theta #, pak jako #x až pi / 2, theta na 0 #.

Výměna # cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2) # podle # cosx = theta, # my máme, #: "Reqd. Lim." = Lim_ (theta až 0) sintheta / theta = 1 #.

Odpovědět:

#1#

Vysvětlení:

Víme, že, #color (červená) (cosA = cos ^ 2 (A / 2) -sin ^ 2 (A / 2)) #

Tak, # L = lim_ (x-> pi / 2) (sin (cosx)) / (cos ^ 2 (x / 2) -sin ^ 2 (x / 2)) = lim_ (x-> pi / 2) (sin (cosx)) / (cosx) #

Vzít,# cosx = theta, #

Dostaneme, #xto (pi / 2) rArrtheta tocos (pi / 2) rArrtheta to0.

#: L = lim_ (theta-> 0) (sintheta) / theta = 1 #