Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Odpovědět:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Vysvětlení:

hledáme:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Když hodnotíme limit, díváme se na chování funkce "blízko" bodu, ne nutně na chování funkce "na" dotyčném bodě, tedy jako #x rarr 0 #V žádném případě nepotřebujeme uvažovat o tom, co se děje # x = 0 #, Tak dostaneme triviální výsledek:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) t

# = 1 #

Pro jasnost graf funkce vizualizovat chování kolem # x = 0 #

graf {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Mělo by být jasně řečeno, že tato funkce # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # je nedefinováno na # x = 0 #

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

Definice limitu funkce, kterou používám, jsou ekvivalentní:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # pokud a jen pro každé pozitivní # epsilon #, existuje pozitivní #delta# takové, že pro každého #X#, pokud # 0 <abs (x-a) <delta # pak #abs (f (x) - L) <epsilon #

Kvůli významu "#abs (f (x) - L) <epsilon #", to vyžaduje, aby pro všechny." #X# s # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # je definováno.

To je pro požadované #delta#, vše z # (a-delta, a + delta) # s výjimkou případu #A#, leží v oblasti #F#.

To vše nás dostane:

#lim_ (xrarra) f (x) # existuje pouze tehdy, pokud #F# je definován v nějakém otevřeném intervalu obsahujícím #A#, s výjimkou snad na #A#.

(#F# musí být definován v některých smazaných otevřených čtvrtích #A#)

Proto, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # neexistuje.

Téměř triviální příklad

#f (x) = 1 # pro #X# iracionální skutečný (nedefinovaný pro racionály)

#lim_ (xrarr0) f (x) # neexistuje.